Umkehrregel

Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion ${\displaystyle f}$,

• die an der Stelle ${\displaystyle x}$ differenzierbar ist und
• dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ gilt,

auch ihre Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ an der Stelle ${\displaystyle y=f(x)}$ differenzierbar ist mit Ableitung

${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}={\frac {1}{f'(x)}}.}$

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Die Graphen der Funktion ${\displaystyle f}$ und ihrer Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung ${\displaystyle y=x}$. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

${\displaystyle f'(x)=\tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}.}$